Geometrie
Clasa VIII

Corpuri geometrice — arii și volume

Pe scurt: Cubul, paralelipipedul, prisma, piramida, cilindrul, conul și sfera, cu formulele de arie și volum și exemple de EN.

Printarea lecțiilor, color sau alb-negru, este inclusă în abonament.

Printarea lecțiilor este disponibilă pentru abonați, pe platforma MateNova.

Teorie

Notații

$A_b$ aria bazei, $P_b$ perimetrul bazei, $h$ înălțimea, $A_l$ aria laterală, $A_t$ aria totală, $V$ volumul.

Cubul și paralelipipedul dreptunghic

Corp	$A_l$	$A_t$	$V$	Diagonala
cub (muchia $l$ )	$4l^2$	$6l^2$	$l^3$	$l\sqrt{3}$
paralelipiped ( $L$ , $l$ , $h$ )	$2(L + l)h$	$2(Ll + Lh + lh)$	$L \cdot l \cdot h$	$\sqrt{L^2 + l^2 + h^2}$

Prisma dreaptă

A_l = P_b \cdot h, \qquad A_t = A_l + 2A_b, \qquad V = A_b \cdot h

Piramida regulată

Elementele de reținut: înălțimea $h = VO$ , apotema bazei $a_b = OM$ și apotema piramidei $a_p = VM$ , unde $M$ este mijlocul unei laturi a bazei. Ele formează triunghiul dreptunghic $VOM$ :

a_p^2 = h^2 + a_b^2

A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}, \qquad A_t = A_l + A_b, \qquad V = \frac{A_b \cdot h}{3}

Bazele care apar la EN

La EN, prisma și piramida regulată au baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat:

Baza (latura $l$ )	Aria bazei	Apotema bazei
triunghi echilateral	$\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$	$\dfrac{l\sqrt{3}}{6}$
pătrat	$l^2$	$\dfrac{l}{2}$
hexagon regulat	$\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$

Tetraedrul regulat are toate cele 6 muchii egale, cu lungimea $l$ : $A_t = l^2\sqrt{3}$ și $V = \dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}$ .

Trunchiul de piramidă regulată

Se obține tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza. Are două baze, una mare (aria $A_B$ ) și una mică (aria $A_b$ ), și înălțimea $h$ . Fețele laterale sunt trapeze isoscele, cu înălțimea $a_t$ (apotema trunchiului).

A_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}, \qquad V = \frac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)

Secțiuni paralele cu baza: dacă planul taie piramida la raportul $k$ al înălțimilor (măsurat de la vârf), laturile secțiunii sunt de $k$ ori mai mici decât ale bazei, iar aria de $k^2$ ori mai mică.

Corpurile rotunde

Corp	$A_l$	$A_t$	$V$
cilindru	$2\pi R h$	$2\pi R(h + R)$	$\pi R^2 h$
con	$\pi R G$	$\pi R(G + R)$	$\dfrac{\pi R^2 h}{3}$
sferă	—	$4\pi R^2$	$\dfrac{4\pi R^3}{3}$

La con, generatoarea, raza și înălțimea formează un triunghi dreptunghic: $G^2 = R^2 + h^2$ .

Trunchiul de con are razele bazelor $R$ și $r$ , înălțimea $h$ și generatoarea $G$ , cu $G^2 = h^2 + (R - r)^2$ :

A_l = \pi G (R + r), \qquad V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + Rr\right)

Încearcă Laborator → Cilindru vs. con ca să vezi de ce volumul conului e o treime din al cilindrului.

Probleme practice

Câtă apă încape? $1$ dm³ $= 1$ litru și $1$ m³ $= 1\,000$ litri.

Greșeli frecvente

Folosirea înălțimii piramidei în locul apotemei în formula ariei laterale.
Uitarea împărțirii la 3 la volumul piramidei și al conului.
Transformări de unități: $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³, nu $100$ cm³.
Aria totală a prismei cu o singură bază în loc de două.

Exemple rezolvate

Exemplu rezolvatCubul și paralelipipedul dreptunghic

cubul cu diagonala $6\sqrt{3}$ cm are muchia $6$ cm, deci $V = 216$ cm³ și $A_t = 216$ cm².

Exemplu rezolvatPrisma dreaptă

prisma triunghiulară regulată cu latura bazei $6$ cm și înălțimea $10$ cm.

$A_b = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ cm², deci $V = 90\sqrt{3}$ cm³ și $A_l = 18 \cdot 10 = 180$ cm².

Exemplu rezolvatPiramida regulată

piramida patrulateră regulată cu latura bazei $8$ cm și înălțimea $3$ cm.

$a_b = 4$ cm, $a_p = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm, $A_l = \dfrac{32 \cdot 5}{2} = 80$ cm², $V = \dfrac{64 \cdot 3}{3} = 64$ cm³.

Exemplu rezolvatTrunchiul de piramidă regulată

trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor de $8$ cm și $4$ cm și înălțimea de $3$ cm.

$A_B = 64$ cm², $A_b = 16$ cm², deci $V = \dfrac{3}{3}(64 + 16 + \sqrt{1024}) = 64 + 16 + 32 = 112$ cm³.

Apotema trunchiului: $a_t = \sqrt{3^2 + \left(\dfrac{8 - 4}{2}\right)^2} = \sqrt{13}$ cm, deci $A_l = \dfrac{(32 + 16)\sqrt{13}}{2} = 24\sqrt{13}$ cm².

Exemplu rezolvatCorpurile rotunde

conul cu $R = 6$ cm și $h = 8$ cm are $G = 10$ cm, $A_l = 60\pi$ cm² și $V = 96\pi$ cm³.

Exemplu rezolvatCorpurile rotunde

$R = 6$ cm, $r = 3$ cm, $h = 4$ cm: $G = \sqrt{16 + 9} = 5$ cm, $A_l = 45\pi$ cm² și $V = \dfrac{4\pi}{3}(36 + 9 + 18) = 84\pi$ cm³.

Exemplu rezolvatProbleme practice

un acvariu în formă de paralelipiped are dimensiunile $50$ cm, $30$ cm și $40$ cm. Volumul este $60\,000$ cm³ $= 60$ dm³ $= 60$ de litri.

Exersează acest capitol

38 exerciții de la Evaluarea Națională și 3 exerciții de exersare, cu verificare și rezolvări.

Rezolvă exercițiile Antrenament