Asemănarea triunghiurilor și teorema lui Thales

Teorema lui Thales

O paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

În $\triangle ABC$, dacă $M \in AB$, $N \in AC$ și $MN \parallel BC$, atunci:

$$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$$

Reciproca: dacă segmentele sunt proporționale, atunci $MN \parallel BC$.

Teorema fundamentală a asemănării

O paralelă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat.

Dacă $MN \parallel BC$, atunci $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ și:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Atenție: aici împarți la latura întreagă ($AB$), nu la segmentul rămas ($MB$), ca la Thales.

Criteriile de asemănare

Două triunghiuri sunt asemenea dacă:

Raportul de asemănare

Dacă $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ cu raportul $k$:

• raportul perimetrelor este $k$;
• raportul ariilor este $k^2$.

Cum scrii asemănarea corect

Scrie vârfurile în ordinea unghiurilor congruente. Dacă $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$, atunci $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, iar laturile corespondente se citesc din aceeași poziție: $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$.