Înapoi la lecții
  • Geometrie
  • Clasa VII

Cercul

Pe scurt: Elementele cercului, unghiul la centru și unghiul înscris, tangenta, lungimea cercului și aria discului.

Printarea lecțiilor, color sau alb-negru, este inclusă în abonament.

Printarea lecțiilor este disponibilă pentru abonați, pe platforma MateNova.

Teorie

Elementele cercului

  • Raza RR: segmentul de la centru la un punct al cercului.
  • Coarda: segment cu capetele pe cerc.
  • Diametrul d=2Rd = 2R: coarda care trece prin centru, cea mai lungă coardă.
  • Arcul: porțiunea de cerc dintre două puncte.

Unghiuri în cerc

UnghiVârfulMăsura
la centruîn centrul cerculuiegală cu măsura arcului cuprins
înscrispe cercjumătate din măsura arcului cuprins

Consecințe importante:

  • Un unghi înscris într-un semicerc este drept: dacă ABAB e diametru și CC e pe cerc, atunci ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ.
  • Unghiurile înscrise care cuprind același arc sunt congruente.

Tangenta

Tangenta într-un punct al cercului este perpendiculară pe raza dusă în acel punct.

Cele două tangente duse dintr-un punct exterior la cerc sunt egale.

Coarde și arce

  • La arce congruente corespund coarde congruente, și reciproc.
  • Diametrul perpendicular pe o coardă împarte coarda și arcul în două părți egale.
  • Coardele egal depărtate de centru sunt congruente.
  • Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente.

Pozițiile unei drepte față de un cerc

Fie dd distanța de la centrul cercului la dreaptă și RR raza:

SituațiaDreapta estePuncte comune
dd mai mare decât RRexterioarăniciunul
d=Rd = Rtangentăunul
dd mai mică decât RRsecantădouă

Pozițiile relative a două cercuri

Pentru cercurile cu razele RR și rr (cu R≥rR \geq r) și distanța dintre centre OO′OO':

SituațiaCercurile sunt
OO′=R+rOO' = R + rtangente exterior
OO′=R−rOO' = R - rtangente interior
OO′OO' între R−rR - r și R+rR + rsecante (două puncte comune)
OO′OO' mai mare decât R+rR + rexterioare
OO′OO' mai mică decât R−rR - rinterioare

Lungimea cercului și aria discului

L=2πR,A=πR2L = 2\pi R, \qquad A = \pi R^2

Arc și sector de cerc pentru un unghi la centru de n∘n^\circ:

Larc=πRn180,Asector=πR2n360L_{\text{arc}} = \frac{\pi R n}{180}, \qquad A_{\text{sector}} = \frac{\pi R^2 n}{360}

Poligoane regulate înscrise în cerc

PoligonLaturaApotema
triunghi echilateralR3R\sqrt{3}R2\dfrac{R}{2}
pătratR2R\sqrt{2}R22\dfrac{R\sqrt{2}}{2}
hexagon regulatRRR32\dfrac{R\sqrt{3}}{2}

Greșeli frecvente

  • Folosirea diametrului în loc de rază în formule: dacă d=10d = 10, atunci R=5R = 5.
  • Confuzia dintre 2πR2\pi R (lungime, cm) și πR2\pi R^2 (arie, cm²).
  • Unghiul înscris luat egal cu arcul, nu cu jumătate din el.

Exemple rezolvate

Exemplu rezolvatUnghiuri în cerc

un unghi la centru de 80∘80^\circ cuprinde un arc de 80∘80^\circ. Un unghi înscris care cuprinde același arc are 40∘40^\circ.

Exemplu rezolvatTangenta

dintr-un punct PP exterior, la distanța PO=13PO = 13 cm de centru, se duce tangenta PTPT la un cerc cu raza de 55 cm. Triunghiul OTPOTP este dreptunghic în TT, deci PT=132−52=12PT = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 cm.

Exemplu rezolvatCoarde și arce

într-un cerc cu raza de 55 cm, o coardă se află la 33 cm de centru. Perpendiculara din centru o împarte în două jumătăți egale, fiecare de 52−32=4\sqrt{5^2 - 3^2} = 4 cm, deci coarda are 88 cm.

Exemplu rezolvatLungimea cercului și aria discului

pentru R=6R = 6 cm: L=12πL = 12\pi cm și A=36πA = 36\pi cm².

Exemplu rezolvatLungimea cercului și aria discului

sectorul de 60∘60^\circ dintr-un disc cu raza 66 cm are aria 36π⋅60360=6π\dfrac{36\pi \cdot 60}{360} = 6\pi cm².

Exersează acest capitol

54 exerciții de la Evaluarea Națională și 1 exercițiu de exersare, cu verificare și rezolvări.

Rezolvă exercițiileAntrenament
Lecția următoareGeometrie în spațiu — poziții, unghiuri și distanțe