Algebră și numere
Clasa VII
Clasa VIII

Ecuații, inecuații și sisteme

Pe scurt: Ecuația de gradul I, ecuații de forma x² = a, inecuații cu schimbarea semnului, sisteme prin substituție și reducere.

Printarea lecțiilor, color sau alb-negru, este inclusă în abonament.

Printarea lecțiilor este disponibilă pentru abonați, pe platforma MateNova.

Teorie

Ecuația de gradul I

Forma $ax + b = 0$ , cu $a$ nenul, are soluția $x = -\dfrac{b}{a}$ .

Pașii: desfaci parantezele, treci termenii cu $x$ într-o parte și numerele în cealaltă (schimbând semnul), apoi împarți la coeficientul lui $x$ .

Cu fracții: înmulțești toată ecuația cu numitorul comun.

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5 \;\big|\cdot 6 \Rightarrow 3x + 2x = 30 \Rightarrow x = 6$ .

Ecuații de forma $x^2 = a$

dacă $a$ e pozitiv: două soluții, $x = \sqrt{a}$ și $x = -\sqrt{a}$ ;
dacă $a = 0$ : soluția $x = 0$ ;
dacă $a$ e negativ: nicio soluție reală.

Cu produs nul: $(x - 3)(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 3$ sau $x = -5$ .

Ecuații de forma $ax^2 + bx + c = 0$

Metoda 1 — descompunerea în factori. Scrii membrul stâng ca produs și folosești faptul că un produs este $0$ doar dacă unul dintre factori este $0$ .

$x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 5$ .
$x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2$ sau $x = 3$ .

Metoda 2 — formula cu discriminantul. Calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$ :

dacă $\Delta$ e pozitiv, ecuația are două soluții reale: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
dacă $\Delta = 0$ , are o singură soluție: $x = -\dfrac{b}{2a}$ ;
dacă $\Delta$ e negativ, nu are soluții reale.

Inecuații

Se rezolvă ca ecuațiile, cu o singură regulă în plus:

Când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă.

Sisteme de două ecuații

Metoda substituției (când o necunoscută e ușor de scos):

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}

Din prima: $y = 7 - x$ . Înlocuiești: $2x - (7 - x) = 5 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$ , apoi $y = 3$ .

Metoda reducerii (aduni ecuațiile ca să dispară o necunoscută): adunând cele două ecuații de mai sus, $y$ dispare: $3x = 12$ , deci $x = 4$ și $y = 3$ .

Verifică mereu soluția în ambele ecuații: $4 + 3 = 7$ și $8 - 3 = 5$ .

Probleme care se rezolvă cu ecuații

Notezi necunoscuta (ce se cere).
Scrii ecuația din enunț.
Rezolvi ecuația.
Verifici și scrii răspunsul cu unitatea de măsură.

Greșeli frecvente

Mutarea unui termen dintr-o parte în alta fără schimbarea semnului.
La $x^2 = a$ , găsirea unei singure soluții (se uită soluția negativă).
La inecuații, uitarea schimbării semnului la împărțirea cu un număr negativ.
La „numere naturale”, uitarea lui $0$ .

Exemple rezolvate

Exemplu rezolvatEcuația de gradul I

$3(x - 2) + 4 = x + 6$

$3x - 6 + 4 = x + 6 \Rightarrow 3x - x = 6 + 2 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ .

Exemplu rezolvatEcuații de forma $x^2 = a$

$x^2 = 18 \Rightarrow x = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$ .

Exemplu rezolvatEcuații de forma $ax^2 + bx + c = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$ are $\Delta = 25 - 24 = 1$ , deci $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ , adică $x_1 = 3$ și $x_2 = 2$ . Am obținut aceleași soluții ca prin descompunere.

Exemplu rezolvatEcuații de forma $ax^2 + bx + c = 0$

$2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ sau $x = -2$ .

Exemplu rezolvatInecuații

$5 - 2x \geq 11 \Rightarrow -2x \geq 6 \Rightarrow x \leq -3$ , adică $x \in (-\infty, -3]$ .

Exemplu rezolvat cu numere naturaleInecuații

câte numere naturale verifică $2x - 1 \leq 7$ ?

$2x \leq 8 \Rightarrow x \leq 4$ , deci $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ : 5 numere.

Exemplu rezolvatProbleme care se rezolvă cu ecuații

suma a două numere este $45$ , iar unul este dublul celuilalt. Notezi numărul mic cu $x$ : $x + 2x = 45 \Rightarrow x = 15$ . Numerele sunt $15$ și $30$ .

Exersează acest capitol

22 exerciții de la Evaluarea Națională și 1 exercițiu de exersare, cu verificare și rezolvări.

Rezolvă exercițiile Antrenament

Lecția următoareFuncții liniare