Funcții liniare

Sistemul de axe și distanța dintre două puncte

Un punct din plan are două coordonate: $A(x, y)$, unde $x$ este abscisa, iar $y$ ordonata. Mulțimea perechilor $(x, y)$, cu $x \in A$ și $y \in B$, se numește produsul cartezian $A \times B$.

Distanța dintre două puncte $A(x_1, y_1)$ și $B(x_2, y_2)$ se calculează cu teorema lui Pitagora:

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Funcția liniară

O funcție $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$ se numește funcție liniară. Graficul ei este o dreaptă.

• $a$ este panta: dacă $a$ e pozitiv, funcția e crescătoare; dacă e negativ, descrescătoare; dacă $a = 0$, funcția e constantă.
• $b$ este ordonata punctului în care dreapta taie axa $Oy$.

Încearcă glisoarele din Laborator → Dreapta f(x) = ax + b ca să vezi cum se schimbă graficul.

Calculul valorilor

Pentru $f(x) = 3x - 2$: $f(0) = -2$, $f(1) = 1$, $f(-2) = -8$.

Un punct aparține graficului

Punctul $A(m, n)$ aparține graficului lui $f$ dacă $f(m) = n$.

Aflarea unui parametru: dacă $A(1, 5)$ aparține graficului lui $f(x) = ax + 2$, atunci $f(1) = 5$, deci $a + 2 = 5$ și $a = 3$.

Intersecțiile cu axele

• Cu $Ox$: pui $f(x) = 0$. Pentru $f(x) = 2x - 6$: $2x - 6 = 0$, deci $x = 3$ și punctul este $A(3, 0)$.
• Cu $Oy$: calculezi $f(0)$. Aici $f(0) = -6$, deci punctul este $B(0, -6)$.

Trasarea graficului

Îți ajung două puncte, de obicei intersecțiile cu axele. Le reprezinți în sistemul de axe și le unești cu o dreaptă.

Aria triunghiului format de grafic cu axele: pentru $f(x) = 2x - 6$, triunghiul $AOB$ are catetele $OA = 3$ și $OB = 6$, deci aria este $\dfrac{3 \cdot 6}{2} = 9$.

Aflarea funcției din două puncte

Dacă graficul trece prin $A(1, 3)$ și $B(3, 7)$:

$$\begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + b = 7 \end{cases}$$

Scăzând ecuațiile: $2a = 4$, deci $a = 2$ și $b = 1$. Funcția este $f(x) = 2x + 1$.

Funcții definite pe mulțimi finite

Dacă domeniul este o mulțime finită, de exemplu $f : \{-1, 0, 1, 2\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$, graficul nu mai este o dreaptă, ci doar punctele $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$. Dacă domeniul este un interval, graficul este un segment sau o semidreaptă.

Intersecția a două grafice

Rezolvi ecuația $f(x) = g(x)$. Pentru $f(x) = x + 1$ și $g(x) = -x + 5$: $x + 1 = -x + 5$, deci $x = 2$ și $y = 3$. Punctul comun este $(2, 3)$.