Fracții, numere zecimale și procente

Fracții

Fracția $\dfrac{a}{b}$ are numărătorul $a$ și numitorul $b$ (nenul).

• Amplificare: înmulțești sus și jos cu același număr: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$.
• Simplificare: împarți sus și jos la același divizor comun: $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ (am împărțit la 6).
• O fracție este ireductibilă dacă numărătorul și numitorul nu au divizori comuni în afară de 1.

Fracții subunitare, echiunitare, supraunitare: numărătorul e mai mic, egal sau mai mare decât numitorul. Dintr-o fracție supraunitară se pot scoate întregii: $\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}$, pentru că $17 = 3 \cdot 5 + 2$.

Operații cu fracții

Numere zecimale

• Zecimală finită în fracție: $0{,}35 = \dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}$.
• Periodică simplă: $0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
• Periodică mixtă: $0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$.

La periodica mixtă: sus scrii tot numărul fără virgulă minus partea dinaintea perioadei; jos pui atâția de 9 câte cifre are perioada, urmați de atâția de 0 câte cifre are partea neperiodică.

Procente

$p\%$ înseamnă fracția $\dfrac{p}{100}$.

Trei tipuri de probleme:

1. Cât reprezintă $p\%$ dintr-un număr: $15\%$ din $240 = \dfrac{15}{100} \cdot 240 = 36$.
2. Ce procent reprezintă un număr din altul: $18$ din $60$ reprezintă $\dfrac{18}{60} \cdot 100\% = 30\%$.
3. Aflarea numărului când știi un procent din el: dacă $25\%$ din $x$ este $40$, atunci $\dfrac{25}{100} \cdot x = 40$, deci $x = 160$.

Scumpiri și reduceri

• Un produs de $200$ lei se scumpește cu $10\%$: preț nou $= 200 + 20 = 220$ lei, adică $110\%$ din preț.
• Un produs de $200$ lei se ieftinește cu $15\%$: preț nou $= 200 - 30 = 170$ lei, adică $85\%$ din preț.

Atenție: o scumpire de $10\%$ urmată de o ieftinire de $10\%$ nu readuce prețul la valoarea inițială: $100 \to 110 \to 99$.