Rapoarte și proporții

Raport și proporție

Raportul numerelor $a$ și $b$ este $\dfrac{a}{b}$. O proporție este egalitatea a două rapoarte: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Proprietatea fundamentală: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

Aflarea unui termen necunoscut: $\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{15} \Rightarrow 15x = 60 \Rightarrow x = 4$.

Proporții derivate: din $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ se obțin, de exemplu, $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$ și $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$.

Șir de rapoarte egale

Dacă $\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{5} = k$, atunci $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 5k$.

Mărimi direct proporționale

Dacă o mărime crește de câteva ori, cealaltă crește de același număr de ori. Raportul lor rămâne constant.

Mărimi invers proporționale

Dacă o mărime crește de câteva ori, cealaltă scade de același număr de ori. Produsul lor rămâne constant.

Numere invers proporționale: $a$, $b$ sunt invers proporționale cu $2$ și $3$ înseamnă $2a = 3b$, adică $\dfrac{a}{1/2} = \dfrac{b}{1/3}$.

Scara unei hărți

Scara $1 : 100\,000$ înseamnă că $1$ cm pe hartă reprezintă $100\,000$ cm $= 1$ km în realitate.