Algebră și numere
Clasa V
Clasa VI

Numere naturale, divizibilitate și puteri

Pe scurt: Ordinea operațiilor, puteri, criterii de divizibilitate, numere prime, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Printarea lecțiilor, color sau alb-negru, este inclusă în abonament.

Printarea lecțiilor este disponibilă pentru abonați, pe platforma MateNova.

Teorie

Ordinea operațiilor

Parantezele: întâi cele rotunde, apoi cele drepte, apoi acoladele.
Puterile.
Înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.
Adunările și scăderile, în ordinea în care apar.

Puteri

Puterea $a^n$ înseamnă $a$ înmulțit cu el însuși de $n$ ori: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

Regula	Exemplu
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$3^2 \cdot 3^5 = 3^7$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$7^9 : 7^4 = 7^5$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(2^3)^4 = 2^{12}$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 1000$
$a^0 = 1$ , $a^1 = a$ , $1^n = 1$	$2026^0 = 1$

Compararea puterilor: cu aceeași bază, e mai mare puterea cu exponentul mai mare ( $2^{10}$ e mai mare decât $2^8$ ). Cu același exponent, e mai mare puterea cu baza mai mare ( $5^{7}$ e mai mare decât $3^{7}$ ). Când nici baza, nici exponentul nu coincid, le aduci la aceeași bază sau la același exponent: $8^5 = 2^{15}$ și $4^7 = 2^{14}$ , deci $8^5$ e mai mare.

Scrierea în baza 2

În baza 10 folosim cifrele 0–9, iar în baza 2 doar cifrele 0 și 1. Fiecare poziție valorează o putere a lui 2.

Din baza 2 în baza 10: $\overline{1011}_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

Din baza 10 în baza 2: împarți repetat la 2 și citești resturile de jos în sus. Pentru $13$ : $13 : 2 = 6$ rest $1$ ; $6 : 2 = 3$ rest $0$ ; $3 : 2 = 1$ rest $1$ ; $1 : 2 = 0$ rest $1$ . Deci $13 = \overline{1101}_{(2)}$ .

Criterii de divizibilitate

Un număr se divide cu	dacă
2	ultima cifră e pară (0, 2, 4, 6, 8)
5	ultima cifră e 0 sau 5
10	ultima cifră e 0
3	suma cifrelor se divide cu 3
9	suma cifrelor se divide cu 9
4	numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4

Numere prime

Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori: 1 și el însuși. Primele numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

1 nu este număr prim (are un singur divizor).
2 este singurul număr prim par.

Descompunerea în factori primi: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Descompui numerele în factori primi, apoi:

c.m.m.d.c. = produsul factorilor comuni, fiecare la cel mai mic exponent;
c.m.m.m.c. = produsul factorilor comuni și necomuni, fiecare la cel mai mare exponent.

Scoaterea factorului comun

$7 \cdot 12 + 7 \cdot 8 = 7 \cdot (12 + 8) = 7 \cdot 20 = 140$ .

Cu puteri: $3^{10} + 3^{9} = 3^{9} \cdot (3 + 1) = 4 \cdot 3^{9}$ .

Greșeli frecvente

Adunarea înaintea înmulțirii: $2 + 3 \cdot 4 = 14$ , nu $20$ .
$2^3 = 8$ , nu $6$ : puterea nu înseamnă înmulțirea bazei cu exponentul.
Considerarea lui 1 ca număr prim.
Înmulțirea exponenților la produsul puterilor: $a^2 \cdot a^3 = a^5$ , nu $a^6$ .

Exemple rezolvate

Exemplu rezolvatOrdinea operațiilor

$2 + 3 \cdot 2^3 - 10 : 5 = 2 + 3 \cdot 8 - 2 = 2 + 24 - 2 = 24$ .

Exemplu rezolvatCriterii de divizibilitate

$4\,302$ se divide cu 2 (ultima cifră 2) și cu 3 ( $4 + 3 + 0 + 2 = 9$ ), deci și cu 6. Se divide și cu 9.

Exemplu rezolvatC.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

$24 = 2^3 \cdot 3$ și $36 = 2^2 \cdot 3^2$ .

$(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$ și $[24, 36] = 2^3 \cdot 3^2 = 72$ .

Verificare: produsul a două numere = c.m.m.d.c. · c.m.m.m.c. Aici $24 \cdot 36 = 864 = 12 \cdot 72$ .

Exersează acest capitol

60 exerciții de la Evaluarea Națională, cu verificare și rezolvări.

Rezolvă exercițiile Antrenament

Lecția următoareFracții, numere zecimale și procente