Numere reale, radicali, modul și intervale

Numere iraționale și reale

Un număr irațional nu se poate scrie ca fracție: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$. Numerele raționale și cele iraționale formează împreună mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$.

$\sqrt{a}$ este numărul pozitiv al cărui pătrat este $a$, cu $a \geq 0$: $\sqrt{49} = 7$.

Reguli pentru radicali

Nu există regulă pentru adunare: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, dar $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Scoaterea factorilor de sub radical

Cauți cel mai mare pătrat perfect care divide numărul:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, $\quad \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Introducerea sub radical (operația inversă): $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. E utilă la comparare: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$ și $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$, deci $4\sqrt{3}$ e mai mare.

Adunarea radicalilor

Se adună doar radicalii asemenea (același număr sub radical), ca termenii asemenea:

$2\sqrt{3} + \sqrt{12} - \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Raționalizarea numitorului

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}, \qquad \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$$

Exemple: $\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$ și $\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

Modulul unui număr real

$\lvert x \rvert = x$ dacă $x \geq 0$, și $\lvert x \rvert = -x$ dacă $x$ e negativ.

Intervale

La $\infty$ paranteza este întotdeauna rotundă.