Geometrie
Clasa VII

Patrulatere și arii

Pe scurt: Paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul și trapezul — proprietăți, perimetre și arii.

Printarea lecțiilor, color sau alb-negru, este inclusă în abonament.

Printarea lecțiilor este disponibilă pentru abonați, pe platforma MateNova.

Teorie

Suma unghiurilor

Într-un patrulater convex, suma unghiurilor este $360^\circ$ .

Paralelogramul și cazurile lui particulare

Patrulater	Proprietăți	Arie
paralelogram	laturi opuse paralele și egale; diagonalele se înjumătățesc	$b \cdot h$
dreptunghi	paralelogram cu un unghi drept; diagonalele sunt egale	$L \cdot l$
romb	paralelogram cu toate laturile egale; diagonalele sunt perpendiculare și bisectoare	$\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$
pătrat	dreptunghi și romb în același timp	$l^2$ sau $\dfrac{d^2}{2}$

Formule utile:

diagonala dreptunghiului: $d = \sqrt{L^2 + l^2}$ ;
diagonala pătratului: $d = l\sqrt{2}$ ;
în paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare, iar cele opuse sunt congruente.

Trapezul

Are două laturi paralele, numite baze ( $B$ și $b$ ).

A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele: $m = \dfrac{B + b}{2}$ .

Trapezul isoscel are laturile neparalele egale, unghiurile de la aceeași bază congruente și diagonalele egale.
Trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze.

Arii prin descompunere

La figurile compuse, împarți figura în dreptunghiuri și triunghiuri, calculezi ariile și le aduni (sau scazi o parte dintr-un întreg).

Greșeli frecvente

Calculul ariei rombului ca $l^2$ (asta e valabil doar pentru pătrat).
La trapezul isoscel, $AE$ calculat ca $B - b$ în loc de $\dfrac{B - b}{2}$ .
Confuzia dintre perimetru (cm) și arie (cm²).

Exemple rezolvate

Exemplu rezolvatParalelogramul și cazurile lui particulare

rombul cu diagonalele de $12$ cm și $16$ cm are aria $\dfrac{12 \cdot 16}{2} = 96$ cm². Diagonalele se înjumătățesc perpendicular, deci latura este $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm, iar perimetrul este $40$ cm.

Exemplu rezolvatTrapezul

trapezul isoscel $ABCD$ cu bazele $AB = 16$ cm, $CD = 6$ cm și laturile neparalele de $13$ cm. Duci înălțimea $DE$ :

$AE = \dfrac{16 - 6}{2} = 5$ cm, apoi $DE = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.

A = \frac{(16 + 6) \cdot 12}{2} = 132 \text{ cm}^2

Exemplu rezolvatArii prin descompunere

aria triunghiului $ABM$ , unde $M$ este mijlocul laturii $CD$ a dreptunghiului $ABCD$ : triunghiul are baza $AB$ și înălțimea egală cu $BC$ , deci aria lui este jumătate din aria dreptunghiului.

Exersează acest capitol

69 exerciții de la Evaluarea Națională și 1 exercițiu de exersare, cu verificare și rezolvări.

Rezolvă exercițiile Antrenament

Lecția următoareAsemănarea triunghiurilor și teorema lui Thales