Înapoi la lecții
  • Geometrie
  • Clasa VI

Triunghiul — congruență și linii importante

Pe scurt: Suma unghiurilor, unghiul exterior, cazurile de congruență, triunghiul isoscel și echilateral, liniile importante și linia mijlocie.

Printarea lecțiilor, color sau alb-negru, este inclusă în abonament.

Printarea lecțiilor este disponibilă pentru abonați, pe platforma MateNova.

Teorie

Suma unghiurilor

Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este 180∘180^\circ.

Unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.

Inegalități în triunghi

  • Fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. De exemplu, nu există triunghi cu laturile 2, 3 și 6, pentru că 2+32 + 3 e mai mic decât 66.
  • Unghiului mai mare i se opune latura mai mare, și reciproc.

Clasificarea triunghiurilor

  • după laturi: oarecare, isoscel (două laturi egale), echilateral (toate laturile egale);
  • după unghiuri: ascuțitunghic, dreptunghic (un unghi de 90∘90^\circ), obtuzunghic.

Triunghiul isoscel: unghiurile de la bază sunt congruente.

Triunghiul echilateral: toate unghiurile au 60∘60^\circ.

Cazurile de congruență

Două triunghiuri sunt congruente dacă au:

CazulElementele congruente
LULdouă laturi și unghiul dintre ele
ULUo latură și cele două unghiuri alăturate ei
LLLtoate cele trei laturi

Pentru triunghiurile dreptunghice ajung două elemente: CC (catetă, catetă), CU (catetă, unghi ascuțit), IC (ipotenuză, catetă), IU (ipotenuză, unghi ascuțit).

Liniile importante în triunghi

LiniaCe estePunctul de intersecție
medianaunește un vârf cu mijlocul laturii opusecentrul de greutate GG
bisectoareaîmparte unghiul în două unghiuri congruentecentrul cercului înscris
înălțimeaperpendiculara dintr-un vârf pe latura opusăortocentrul HH
mediatoareaperpendiculara în mijlocul unei laturicentrul cercului circumscris

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de bază: AG=23AMAG = \dfrac{2}{3} AM.

În triunghiul isoscel, mediana, înălțimea și bisectoarea duse din vârf pe bază coincid. În triunghiul echilateral, toate patru coincid.

Linia mijlocie

Segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.

Teorema paralelelor echidistante: dacă mai multe drepte paralele, la distanțe egale una de alta, taie o secantă, atunci determină pe ea segmente congruente.

Aria triunghiului

A=baza⋅ıˆna˘lțimea2A = \frac{\text{baza} \cdot \text{înălțimea}}{2}

Pentru triunghiul echilateral cu latura ll: înălțimea h=l32h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} și aria A=l234A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}.

Greșeli frecvente

  • Cazul „LLU” nu există: două laturi și un unghi care nu e între ele nu garantează congruența.
  • Confuzia dintre mediană (merge la mijlocul laturii) și înălțime (cade perpendicular).
  • În formula ariei, folosirea unei laturi care nu corespunde înălțimii alese.

Exemple rezolvate

Exemplu rezolvatSuma unghiurilor

în △ABC\triangle ABC, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ și ∠B=70∘\angle B = 70^\circ. Atunci ∠C=60∘\angle C = 60^\circ, iar unghiul exterior din CC are 50∘+70∘=120∘50^\circ + 70^\circ = 120^\circ.

Exemplu rezolvatLinia mijlocie

dacă BC=14BC = 14 cm și MM, NN sunt mijloacele laturilor ABAB și ACAC, atunci MN∥BCMN \parallel BC și MN=7MN = 7 cm.

Exemplu rezolvatAria triunghiului

triunghiul echilateral cu latura 66 cm are h=33h = 3\sqrt{3} cm și A=93A = 9\sqrt{3} cm².

Exersează acest capitol

35 exerciții de la Evaluarea Națională, cu verificare și rezolvări.

Rezolvă exercițiileAntrenament
Lecția următoarePatrulatere și arii